浅谈高等数学中极限定义的研究和应用

摘要：极限概念是微积分学中最重要，最基本的概念。掌握好利用定义证明函数极限是学好高等数学的基础。极限有数列极限，函数极限，多元函数极限等几类，本文直接或间接地用极限定义来证明一些我们经常见到高等数学问题。

Abstract： The concept of limit is the most important part in the calculus and the most basic concept. It is the foundation for learning well advanced mathematics to master the method of using the definition to proof function limit. Limit includes several kinds， such as， columns limit， function limit， limit of function categories， and so on. In this article， the limit definition is directly or indirectly used to prove the problems we often see in advanced mathematics.

关键词： 极限；极限定义；数列极限；函数极限

Key words： limit；definition of limit；series limit；function limit

中图分类号：O13文献标识码：A文章编号：1006-4311（2012）31-0239-02

0 引言

在高等数学中我们经常见到很多证明问题可以直接或间接用极限定义来证明，极限定义本身很优美，在利用它证明其他问题的时候会起到很好的效果，能使整个证明过程简洁优美起来，参看文献[1，2，3，4，5，6，7，8]。极限有数列极限，函数极限，多元函数极限等几类，我们在每个不同类型的极限中都先列出定义，然后试图把每一类的不同应用整理出来。

1 数列极限

数列极限定义： 设{an}是一个数列，a是一个确定的数，若对任给的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时，都有a■-a<ε，则称数列an收敛于a，a称为它的极限，并记作或■a■=a或a■→a（n→∞）。

数列极限的“ε-N”定义中含有ε和N，其中ε是预先给定的，关键是求出N，而N的取值一般是由ε决定的，有时记作N=N（ε）。

定义中的常数ε具有二重性，即具有很小正数的固定性，又具有随意小的任意性。[3]当ε固定时，逼近的程也就确定了；当ε不定时，任意小时，逼近的无限性也就刻画出来了。

一般地来说，ε越小N就越大，由于是通过a■-a<ε求得的，因而对应ε的N不是唯一的，关键是找出存在的N，一旦合乎定义的N找到了，用比它大的任何自然数n来代替均可，但要找到存在的N不是那么容易的，下面介绍一些技巧：

1.1 适当放大法 有时不等式a■-a<ε比较复杂，不便解出n，于是可将绝对值不等式a■-a<ε适当放大，转化为a■-a

例 1. 证明■■=■

证明：用适当放大法估计不等式

■-■=■<■<■<■<ε

∴？坌ε>0，？埚N=[■]，当n>N时，都有

■-■<ε。

1.2 分步法 有时为了解题的方便，要对n作某些限制，使a■-a<ε更容易简化，于是先假定n>N1（N1是某个常数），然后放大a■-aN2。令N=max{N1，N2}则n>N时，有a■-a<ε。

例2.设■a■=a，证明■an■=a

证明[4] ：因为■a■=a，于是？坌ε>0，？埚N1，当n>N1时，a■-a<■，■-a？燮

■？燮

■+■·■

当N■固定，取n充分大，？坌N■，当n>N■时，

■<■，于是当n>N=maxN■，N■时，■-a？燮■+■=ε

即■an■=a。

2 函数极限

函数极限定义：设f为定义在[a，+∞）上的函数，A是一个定数，若对任给正数ε>0，存在正数M（≥a），使得适合x>M时有f（x）-A<ε，

则称函数f当x趋于+∞以A为极限，记作

■f（x）=A或f（x）→A（x→+∞）.

函数f趋于+∞的极限定义与数列a■的极限定义很相似。因为它们的自变数的变化趋势相同（x→+∞与n→+∞），只不过自变数的变化形态不同。函数f（x）的自变数x取区间[a，+∞）的一切实数，续地增大；而数列a■的自变数n只取一切正整数，离散地无限增大。证明数列极限关键是找正整数N，证明函数极限f（x）→A（x→+∞）关键是找到正数M。

例3. 证明■arctan x=-■

证明：？坌ε>0（限定0<ε<■），要使不等式tan x--■=arctan x+■<ε成立。解得x0。

于是，？坌ε>0 ？埚A=-tanε-■>0，？坌x<-A=tanε-■，有tan x--■<ε，即■arctan x=-■

有时，极限不一定存在，这种情况，我们可以用反证法，反证法的根本思想也是利用极限定义，用此类方法从另一个侧面也加深了我们对极限定义的认识和理解，同时可以把复杂的问题简单化。

例4. 证明■sin n不存在。[1]

证明（反证法）：若■sin n=A，因sin（n+2）-sin n=2sin1cos（n+1），知■2sin1cos（n+1）=■（sin（n+2）-sin n）=A-A=0，从而■cos n=0，A=■sin n=■■=1。但sin2n=2sin n·cosn，取极限A=0，矛盾。

3 一元函数极限

一元函数极限定义：设函数f（x）在点x0的某个空心领域内U°（x0；δ′）有定义，A是定数，若对任给的ε>0，存在正数δ（<δ′），使得当0

则称函数f当趋于x0时以A为极限，记作

■f（x）=A或f（x）→A（x-x0）。

函数极限是数列极限的推广，数列极限是函数极限的特殊情形（自变量取自然数的情形）。两者都是关于自变量ε的极限，只是数列极限中的因变量N，在函数极限中用另一种表达方式δ，函数极限中的δ一般也依赖于ε，一般来说，ε愈小，δ也相应地要小一些。数列极限是研究n趋于无穷过程中数列值的变化趋势，而函数极限是研究当x→-∞，x→+∞，x→x0，x→x■■，x→x■■过程中函数值的变化趋势。所以数列极限和函数极限有相通性，解决函数极限问题关键是找出具有可变性的δ，一旦δ找到了，就可以用任意比它小的正数代替。

限制法：

例5. 证明■■=■[2]

证明：当x≠1时有

■-■=■-■=■，

若限制x于00）则2x+1>1。于是，对任给的ε>0，只要取δ=min{3ε，1}，则当0

注：解题时，要注意对x-1的限制，如果不限制，那么题中就变成了■<ε，也就是δ=32x+1，但这是不充许的，因为δ我们要求所求的δ只和ε，x0有关。因此需要限制，且要适当。如上例中的限制01，便于放大从而有■<■<ε，但如果限制01，所以达不到放大的效果。

4 左、右函数极限

（左、右）极限定义：设函数f在U■■x■；δ′（U■■x■；δ′）内有定义，A为定数。若对任给的ε>0，存在正数δ（<δ′），使得当x■

则称A为函数f当趋于x■时的右（左）极限，记作

■f（x）=A（■f（x）=A）

例6. 设g（x）=■证明

（1）■ g（x）=0； （2）■ g（x）=0

证明：（1）？坌x>0，？坌ε>0（限定0<ε<■），要使不等式

g（x）-0=■<ε

成立。解得x<■，取δ=■。于是，？坌ε>0，？埚δ=■>0，？坌x：0

■ g（x）=0

函数f趋近于x0的左极限和右极限与函数趋近于x0的极限，有着一定的联系。如果函数f趋近于x0左极限等于右极限，则函数趋近于x0的极限存在，且等于左右极限。否则函数趋近于x0的极限不存在。如上例中■ g（x）≠■ g（x），则函数在0的邻域不存在极限。

参考文献：

[1]裴礼文编.数学分析中的典型问题与方法[M].高等教育出版社，2005.1.

[2]华东师范大学数学系编[M].数学分析，第三版.高等教育出版社，2004.1.

[3]朱时编著.数学分析札记[M].贵州教育出版社，1994.2.

[4]欧阳光中，姚允龙，周渊编.数学分析（上册）[M].上海：复旦大学出版社，2002.4.

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